Pourquoi MEAPS ?
Modèle Ergodique à Absorption, Priorité et Saturation
Le modèle à 4 étapes
Dans la modélisation des flux de personnes, par exemple, le modèle à 4 étapes est généralement utilisé.
- étape 1 : nombre de trajets en partance des lieux de résidence, nombre de trajets arrivants
- étape 2 : distribution entre chaque paire des trajets partant ou arrivant
- étape 4 : caractéristiques des trajets
Nous nous intéressons ici surtout à l’étape 2.
Le modèle gravitaire
Un modèle couramment utilisé est le modèle gravitaire
\[
T_{i,j} = \frac {N_{hab, i}\times N_{emp, j}} {f(d_{i,j})}
\]
avec
\[
f=e^{d/\delta}
\]
Mais le modèle gravitaire « écrase » l’information proprement spatiale et marche surtout « de loin ».
Il donne la même valeur à la distance quelque soit la densité du milieu traversé. Or, quand on est isolé, on accepte des distances plus grandes.
Gravitaire versus radiatif
On propose d’utiliser une autre analogie : le modèle radiatif de (Simini et al. 2012) ou des « opportunités intervenantes » de (Stouffer 1940)
Dans cette analogie, au lieu d’avoir des masses qui s’attirent (A et B), le trajet entre A et B est influencé par les Cs que l’on rencontre en chemin.
Analogie physique : une particule est émise d’un point. Elle parcourt l’espace jusqu’à rencontrer des sites d’absorption. A chaque site d’absorption elle peut être absorbée (probabilité \(p\)) ou continuer (probabilité \(1-p\)).
Mais un milieu linéarisé : au lieu d’une particule partant dans une direction quelconque, on classe sur une droite tous les sites d’absorption en fonction de leur distance. Ils seront rencontrés dans cet ordre. Ceci permet de représenter l’influence de la distance, puisque ce qui est près compte plus que ce qui est loin.
Plan de la présentation
Nous proposons un Modèle Ergodique à Absorption, Priorité et Saturation (/mi:ps/)
Le modèle théorique
Version simple
Priorité et saturation
Ergodicité
Algorithme
Simulations synthétiques pour en étudier les propriétés
- une application Shiny
Estimations à partir de MOBPRO à La Rochelle
données
\(R^2_{KL}\) et quelques autres éléments
Apprentissage (ou estimation non paramétrique)
Estimations paramétriques
Conclusions
Modèle Ergodique à Absorption, Priorité et Saturation
Modèle Ergodique à Absorption, Priorité et Saturation
Absorption
Pour chaque individu, les emplois sont classés dans l’ordre des distances, chaque emploi a un rang \(r_i(j)\) et une probabilité d’absorption uniforme \(p_a\). La probabilité de dépasser au moins \(j\) s’écrit :
\[
\bar F(j)=(1-p_a)^{r_i(j)}
\]
On peut définir une fuite, c’est-à-dire la probabilité de ne pas s’arrêter dans le périmètre d’étude (fini)
\[
p_a = 1-(p_f)^{1/J}
\]
La probabilité de s’arrêter en \(j\) peut alors s’écrire :
\[
P_i(j) = (1-p_a)^{r_i(j)-1} \times p_a = {p_f}^{\frac {r_i(j)-1} {J}} \times (1-{p_f}^{1/J})
\]
et ne dépend que des paramètres globaux, la fuite et le nombre d’emplois.
Accessibilité
On définit l’accessibilité \(s_i(d)=\sum _{j/d_{i,j}<d}1\)
On a au premier ordre (\(k\) est le nombre d’emploi en \(c_d\), \(\mu=\frac{-log(p_f)}{J})\) :
\[
P_i(i\in c_d) \approx k\times \mu \times e^{-\mu \times s_i(d)}
\]
et donc :
\[
T^{meaps}_{i,j} = \mu \times N_{hab, i}\times N_{emp, j} \times
e^{-\mu \times s_i(d)}
\]
Si la densité des opportunités (les emplois) est uniforme, on peut calculer \(s_i(d)=r^2/\rho^2\) et (re)trouver une forme « gravitaire » qui dépend de la distance.
\[
T^{meaps}_{i,j} = \mu \times \frac {N_{hab, i}\times N_{emp, j}} {
e^{d^2/\rho^2}}
\]
Saturation & priorité
L’absorption définit une « demande » qu’il faut confronter à des disponibilités. En l’absence d’un prix nous proposons :
- une capacité finie de chaque site
- un remplissage progressif
- lorsque le site est saturé, il est indisponible pour les suivants
- ce qui fonctionne pour un ordre de priorité
Ergodicité
En notant \(\phi_u(i,j)\) la probabilité de disponibilité (\(\phi\) vaut 0 si l’emploi est complètement pris)
\[
P_{u, i}(j) = \lambda_{u,i}.\phi_u(i,j). p_a \prod_{l=1}^{r_i^{-1}(j)-1}(1-\lambda_{u,i}. \phi_u(i,r^{-1}(l)).p_a)
\]
\[
\prod_{j=i} ^{J} (1-\lambda_{u,i} \times \phi_u(i,j) \times p_{a})= p_f
\]
Pour ne pas dépendre d’un ordre particulier, nous faisons la moyenne sur tous les ordres possibles. Aucun résident n’est privilégié, la moyenne sur tous les ordres possibles donne une solution acceptable.
Il y a \(I!\) ordres possibles ce qui est impossible à traiter.
On prend donc un (petit) échantillon de ces ordres et on conjecture l’ergodicité du modèle : un faible nombre de tirages permettra d’atteindre la moyenne sur tous les ordres.
Intuitivement, chaque individu est localisé aléatoirement, la saturation dépend surtout de la coïncidence d’individus proches d’une opportunité et qui sont donc les premiers servis. Cette coïncidence est rare et donc quelques tirages conduisent à un résultat proche de tous les tirages.
